区間推定

こんにちは、βshortです。
今回は、区間推定についてノートしていきます。

推定とは

推定とは、標本から母集団を推定すること

点推定

得られた標本から母集団の母数θの値を推定すること

区間推定

信頼係数に対して、母数θの取り得る値の範囲を推定すること

不偏推定量の表記について

母集団

$$母平均 : \mu$$
$$母分散 : \sigma^2 $$

標本

$$ 標本平均 : \bar{ X } = \displaystyle \frac{ 1 }{ n } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x_i$$
$$ 標本分散 : S^2 = \frac{ 1 }{ n-1 } \displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } (x_i – \bar{ X } )$$

推定では正規分布、改二乗分布、t分布を使う

$$ P( \theta_1 \leq θ \leq \theta_2) = 1 – \alpha $$
α:有意水準
1-α:信頼係数
$$ 信頼区間P( \theta_1 \leq θ \leq \theta_2) $$

有意水準は、信頼区間に現れない確率
信頼係数は、信頼区間に現れる確率

推定サンプル

母分散が分かっている場合の、母平均の区間推定

母集団は正規分布に従うとする
Zは標準正規分布

$$ 統計量 Z = \displaystyle \frac{ \bar{ X } – \mu }{ \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n }} } $$
$$ -Z_{ \frac{\alpha}{2}} \leq \displaystyle \frac{ \bar{ X } – \mu }{ \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n }} } \leq Z_{ \frac{\alpha}{2}} $$
$$ \bar{ X } -Z_{(\frac{\alpha}{2})} \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n }} \leq \mu \leq \bar{ X } + Z_{(\frac{\alpha}{2})}\sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n }} $$

母分散が分かってない場合の、母平均の区間推定

母集団は正規分布に従うとする
Tは、自由度(n-1)のt分布に従う
$$ 統計量 T = \displaystyle \frac{ \bar{ X } – \mu }{ \sqrt{ \frac{ S^2 }{ n }} } $$
$$ -t_{ \frac{\alpha}{2}} \leq \displaystyle \frac{ \bar{ X } – \mu }{ \sqrt{ \frac{ \sigma^2 }{ n }} } \leq t_{ \frac{\alpha}{2}} $$
$$\bar{ X } -t_{(\frac{\alpha}{2}, n-1)} \sqrt{ \frac{ S^2 }{ n }} \leq \mu \leq \bar{ X } + t_{(\frac{\alpha}{2}, n-1))}\sqrt{ \frac{ S^2 }{ n }} $$

母分散の区間推定

母集団は正規分布に従うとする
χは、自由度m=(n-1)のカイ2乗分布に従う
$$ 統計量 \chi^2 = \displaystyle \frac{ S^2 }{ \frac{ \sigma^2 }{ n-1 } } $$

$$ \chi^2_{(\frac{\alpha}{2}, m)} \leq \displaystyle \frac{ S^2 }{ \frac{ \sigma^2 }{ n-1 } } \leq \chi^2_{(1-\frac{\alpha}{2}, m)} $$

$$ \frac{(n-1) S^2 }{\chi^2_{(1-\frac{\alpha}{2}, m)}} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1) S^2 }{\chi^2_{(\frac{\alpha}{2}, m)}} $$

参考書


統計学図鑑


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