誤差分散と不偏誤差分散

誤差分散


母分散\(\sigma^1\)が分かっている場合
標本サイズが大きい(30以上)の場合
誤差分散\(\sigma_{\bar{x}}^2\)は以下のように求める
$$
\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}
$$

母分散が分かっていない場合
標本サイズが小さい場合(30未満)の場合

t検定で出てくる

$$
\begin{eqnarray}
\sigma_{\bar{x}}^2 &=& \frac{\sigma^2}{n}\\
&=& \frac{\hat{\sigma^2}}{n}\\
&=& \frac{S^2}{n-1}
\end{eqnarray}
$$

$$
\sigma^2 \rightarrow \hat{\sigma^2} = \frac{1}{n-1}\sum{(x_i-\bar{x})^2}
$$
$$
\begin{eqnarray}
S^2 = \frac{1}{n}\sum{(x_i-\bar{x})^2}\\
\sum{(x_i-\bar{x})^2} = nS^2
\end{eqnarray}
$$
$$
\begin{eqnarray}
\hat{\sigma^2} &=& \frac{1}{n-1}\sum{(x_i-\bar{x})^2}\\
&=& \frac{nS^2}{n-1}
\end{eqnarray}
$$

$$
\begin{eqnarray}
\sigma_{\bar{x}}^2 &=& \frac{\sigma^2}{n}\\
&=& \frac{\hat{\sigma^2}}{n}\\
&=& \frac{1}{n}\frac{nS^2}{n-1}\\
&=& \frac{S^2}{n-1}
\end{eqnarray}
$$

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