ARMAモデル[時系列分析]

時系列解析




ARMA過程

ARMA過程は、AutoRegressive Moving Averageの略で、日本語に訳すと自己回帰移動平均です。

ARMAは、AR過程とMA過程を組み合わせたものです。
AR(p)とMA(q)を組み合わせたもので、ARMA(p,q)を書き、次の式で表す。
$$
y_t = c+\phi_1y_{t-1}+\cdots+\phi_py_{t-p}+\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}\\
\epsilon_t ~ W.N.(\sigma^2)
$$

ARMAの性質

  1. 期待値
  2. 分散
  3. 自己相関
  4. 偏自己相関

期待値

$$
\begin{align}
\mu &= E(y_t) \\
&= \frac{c}{1 – \phi_1 – \phi_2 – \cdots – \phi_p}
\end{align}
$$

分散

自己共分散

q+1次以降の自己共分散は、p次の差分方程式
主に自己相関に対して、ユール・ウォーカー方程式と呼ぶが、自己共分散においても同様に呼ぶ場合もある。

$$
\gamma_k = \phi_1\gamma_{k-1}+\phi_2\gamma_{k-2}+\cdots+\phi_p\gamma_{k-p}
$$

自己相関

q+1次以降の自己相関は、p次の差分方程式
ユール・ウォーカー方程式
AR過程の自己相関は指数的に減衰する。
$$
\rho_k = \phi_1\rho_{k-1}+\phi_2\rho_{k-2}+\cdots+\phi_p\rho_{k-p}
$$

偏自己相関

偏自己相関は、減衰する。

パラメータ推定

工事中

参考

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