時系列の自己相関係数
自己共分散では、値が単位に依存してしまう問題がある。
これを解決するのが、単位依存しない自己相関係数である。
k次の自己相関係数は次のように定義されている。
$$
\begin{align}
\rho_{kt} &= Corr(y_t, y_{t-k}) \\
&= \frac{Cov(y_t, y_{t-k})}{\sqrt{Var(y_t}・Var(y_{t-k})}
&= \frac{\gamma_{kt}}{\sqrt{\gamma_{0t} \gamma_{0, t-k}}}
\end{align}
$$
標本自己相関係数
$$
\hat{\rho_k} = \frac{\hat{\gamma_k}}{\hat{\gamma_0}}
$$
\(\gamma\)の計算は、以下の通りです。
$$
\begin{align}
\gamma_{kt} &= \frac{1}{T}\sum^T_{t=k+1} (y_t – \bar{y})(y_{t-k} – \bar{y})
\end{align}
$$
コレログラム
自己相関係数をkの関数としてものを自己相関関数と呼ぶ。
この自己相関関数をグラフに描いたものはコレログラムと呼ばれる。
自己相関関数は、様々な時系列モデルの選択に非常に有用である。
参考書
