MA過程
MA過程は、Moving Averageの略で、日本語に訳すと移動平均過程であす。
MA過程は、確率的な過程で、ホワイトノイズによって決まる過程です。
長期間にわたる自己相関をモデル化するためには、多くのパラメータが必要になる。
1次MA過程は、MA(1)と表現され、次の式で表す。
$$
y_t = \mu + \epsilon_t + \theta_1\epsilon_{t-1} \\
\epsilon_t ~ W.N.(\sigma^2)
$$
ホワイトノイズ
$$
E(\epsilon_t) = 0 \\
\begin{align}
\gamma_k &= E(\epsilon_t\epsilon_{t-k}) \\
&= \begin{cases}
\sigma^2, k=0 \\
0, k \neq 0
\end{cases}
\end{align}
$$
MAモデルの性質
- MA過程は常に定常である
- 期待値
- 分散
- 自己相関
- 偏自己相関
期待値
$$
\begin{align}
E(y_t) = \mu
\end{align}
$$
分散
$$
\begin{align}
\gamma_0 &= Var(y_t) \\
&= (1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2)\sigma
\end{align}
$$
自己共分散
q+1次以降は自己共分散は0になる。
$$
\gamma_k = \begin{cases}
(\theta_k + \theta_1\theta_{k+1} + \theta_{q-k})\sigma^2&, 1 \leq k \leq q \\
0&, k \leq q+1
\end{cases}
$$
自己相関
q+1次以降は自己相関は0になる。
$$
\rho_k =
\begin{cases}
\frac{\theta_k + \theta_1\theta_{k+1} + \theta_{q-k}}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2}
&, 1 \leq k \leq q \\
0&, k \leq q+1
\end{cases}
$$
偏自己相関
偏自己相関は、q+1次以降は自己相関は0
推定
工事中