AR過程
AR過程(ARモデル)のARは、AutoRegressiveの略で、日本語に訳すと自己回帰です。
このモデルは、自身の過去に回帰されたモデルで表現される。
1次ARモデルは、AR(1)と書かれ、次の式で表す。
$$
y_t = c + \phi_1y_{t-1} + \epsilon_t \\
\epsilon_t ~ W.N.(\sigma^2)
$$
AR(p)の性質
- 期待値
- 分散
- 自己相関
- 偏自己相関
期待値
$$
\begin{align}
\mu &= E(y_t) \\
&= \frac{c}{1 – \phi_1 – \phi_2 – \cdots – \phi_p}
\end{align}
$$
分散
$$
\begin{align}
\gamma_0 &= Var(y_t) \\
&= \frac{\sigma^2}{1 – \phi_1\rho_1 – \phi_2\rho_2 – \cdots – \phi_p\rho_p}
\end{align}
$$
自己共分散
p次の差分方程式
主に自己相関に対して、ユール・ウォーカー方程式と呼ぶが、自己共分散においても同様に呼ぶ場合もある。
$$
\gamma_k = \phi_1\gamma_{k-1}+\phi_2\gamma_{k-2}+\cdots+\phi_p\gamma_{k-p}
$$
自己相関
p次の差分方程式
ユール・ウォーカー方程式
AR過程の自己相関は指数的に減衰する。
$$
\rho_k = \phi_1\rho_{k-1}+\phi_2\rho_{k-2}+\cdots+\phi_p\rho_{k-p}
$$
偏自己相関
偏自己相関は、(p+1)次以降0になる。
パラメータ推定
工事中
