LoGフィルタ

LoGフィルタ

LoG(Laplacian of Gaussian)

ガウシアンフィルタを掛けた後に、ラプラシアンフィルタを掛ける操作


$$LoG(x,y) = \frac{x^2+y^2-\sigma^2}{2\pi\sigma^6}\exp{\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right )}$$

計算

ガウシアンフィルタのラプラシアンを求めれば、LoGフィルタが出来る。

ガウシアンフィルタを\(G\)とすると、LoGフィルタは次のように表せる。
$$
\begin{eqnarray}
LoG &=& \nabla^2 G \\
&=& \frac{ \partial^2 G }{ \partial x^2 } + \frac{ \partial^2G }{ \partial y^2 }
\end{eqnarray}
$$

ガウシアンフィルタは、次のような数式である。
$$G=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp{\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right )}$$

まずは、xについての2次の偏微分を求めていく。
1階偏微分
$$\frac{ \partial G }{ \partial x } = -\frac{x}{\sigma^2}\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp{\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right )}$$
2階偏微分
$$
\begin{eqnarray}
\frac{ \partial^2 G }{ \partial x^2 }&=& -\frac{1}{\sigma^2}\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp{\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right )} +\frac{x^2}{\sigma^4}\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp{\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right )} \\
&=& \frac{x^2-\sigma^2}{\sigma^4}\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp{\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right )}
\end{eqnarray}
$$

同様に、yについても2次微分する。
$$\frac{ \partial^2 G }{ \partial y^2 } = \frac{y^2-\sigma^2}{\sigma^4}\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp{\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right )} $$

以上をもとに、ラプラシアンを計算すると、
$$\nabla^2 G = \frac{x^2+y^2-\sigma^2}{2\pi\sigma^6}\exp{\left(-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right )}$$

が算出される。

参考書

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